HSC ICT - Chapter 3.1: Number System

1. Number System (সংখ্যা পদ্ধতি)

Definition & Types

A Number System is a mathematical way to express numbers using a consistent set of symbols/digits. There are two main types:

Non-Positional System: The value of a symbol does not depend on its position. E.g., Roman Numerals (X = 10 everywhere).
Positional System: The value depends on the digit's position (place value), the base (radix), and the digit itself. E.g., Decimal, Binary.

Place Value: Weights increase to the left (Base⁰, Base¹...) and decrease to the right (Base^-1, Base^-2...).

সংজ্ঞা ও প্রকারভেদ

সংখ্যা পদ্ধতি হলো কোনো সংখ্যা লিখে প্রকাশ করার একটি সুনির্দিষ্ট নিয়ম। এটি প্রধানত দুই প্রকার:

নন-পজিশনাল পদ্ধতি: যে পদ্ধতিতে অঙ্কের নিজস্ব মান থাকে কিন্তু কোনো স্থানীয় মান (Place value) থাকে না। যেমন: রোমান সংখ্যা।
পজিশনাল পদ্ধতি: যে পদ্ধতিতে অঙ্কের নিজস্ব মান, স্থানীয় মান এবং ভিত্তির (Base) উপর নির্ভর করে মান নির্ণয় করা হয়। যেমন: ডেসিমেল, বাইনারি, অক্টাল।

স্থানীয় মান: পয়েন্টের বাম দিকে মান বাড়ে (Base⁰, Base¹...) এবং ডান দিকে কমে (Base^-1, Base^-2...)।

Number System Examples

Positional / পজিশনাল

3	4	3	6
↓	↓	↓	↓
1000	100	10	1

1	0	1	1	0	1
↓	↓	↓	↓	↓	↓
32	16	8	4	2	1

Non-Positional / নন-পজিশনাল

XXV = 10 + 10 + 5 = 25

~~||||~~ = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5

Positional vs Non-Positional (পজিশনাল বনাম নন-পজিশনাল)

Feature (বৈশিষ্ট্য)	Positional (পজিশনাল)	Non-Positional (নন-পজিশনাল)
Place Value (স্থানীয় মান)	Digits have specific place values. (অঙ্কগুলোর স্থানীয় মান থাকে।)	Symbols have NO place value. (প্রতীকগুলোর স্থানীয় মান নেই।)
Base/Radix (ভিত্তি)	Has a fixed base (e.g., 2, 8, 10). (নির্দিষ্ট ভিত্তি বা বেস থাকে।)	Does not have a base. (কোনো ভিত্তি নেই।)
Zero (শূন্য)	Zero (0) is essential. (শূন্যের ব্যবহার বাধ্যতামূলক।)	Often lacks a zero symbol. (সাধারণত শূন্যের ব্যবহার নেই।)
Arithmetic (গাণিতিক কাজ)	Addition/Subtraction is easy. (যোগ-বিয়োগ করা সহজ।)	Arithmetic is very difficult. (গাণিতিক কাজ বেশ জটিল।)
Usage (ব্যবহার)	Modern computers & math. (আধুনিক গণিত ও কম্পিউটারে ব্যবহৃত।)	Historical or ancient usage. (প্রাচীনকালে ব্যবহৃত হতো।)

Base Numbers & Place Values (ভিত্তি এবং স্থানীয় মান)

Positional Number System পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতি	Sign Number চিহ্ন সংখ্যা	Base Number ভিত্তি সংখ্যা	Place Values (স্থানীয় মান) (Left to Right)
Decimal / দশমিক	0 - 9	10	... 10⁴, 10³, 10², 10¹, 10⁰
Binary / বাইনারি	0, 1	2	... 2⁴, 2³, 2², 2¹, 2⁰ (... 16, 8, 4, 2, 1)
Octal / অক্টাল	0 - 7	8	... 8⁴, 8³, 8², 8¹, 8⁰ (... 4096, 512, 64, 8, 1)
Hexadecimal / হেক্সাডেসিমেল	0 - 9, A, B, C, D, E, F	16	... 16⁴, 16³, 16², 16¹, 16⁰ (... 65536, 4096, 256, 16, 1)

2. Addition and Subtraction (যোগ ও বিয়োগ)

Technique for Any Base

Addition: Add column by column. If sum ≥ Base, subtract Base from sum, write remainder, and carry 1 to next left column.

Subtraction: Subtract column by column. If top digit < bottom digit, borrow Base (add Base to top digit), subtract, and return 1 to next bottom digit.

যেকোনো বেসের নিয়ম

যোগ: কলাম অনুযায়ী যোগ করুন। যোগফল বেসের সমান বা বড় হলে, তা থেকে বেস বিয়োগ করে নিচে বসান এবং পরবর্তী কলামে হাতে ১ (Carry 1) যোগ করুন।

বিয়োগ: উপরের অঙ্ক ছোট হলে, তার সাথে বেস (Base) ধার হিসেবে যোগ করুন। বিয়োগ করার পর, পরবর্তী কলামের নিচের অঙ্কের সাথে হাতে থাকা ১ যোগ করুন।

Addition Examples (যোগের উদাহরণ)

Decimal (Base-10)

Breakdown:
• 6 + 7 = 13
• 13 - 10 = 3 (Carry 1)
• 1 + 5 + 2 = 8
• 4 + 1 = 5

  4 5 6
+ 1 2 7
-------
  5 8 3

Octal (Base-8)

Breakdown:
• 6 + 7 = 13
• 13 - 8 = 5 (Carry 1)
• 1 + 5 + 2 = 8
• 8 - 8 = 0 (Carry 1)
• 1 + 4 + 1 = 6

  4 5 6
+ 1 2 7
-------
  6 0 5

Hexadecimal (Base-16)

Breakdown:
• 6 + 7 = 13 (D)
• A(10) + B(11) = 21
• 21 - 16 = 5 (Carry 1)
• 1 + 4 + 1 = 6

  4 A 6
+ 1 B 7
-------
  6 5 D

Binary (Base-2)

Breakdown:
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 2 → 2-2=0 (C:1)
• 1 + 0 + 1 = 2 → 2-2=0 (C:1)
• 1 + 1 = 2 → 2-2=0 (C:1)

  1 0 1 1
+ 0 1 1 0
---------
1 0 0 0 1

Subtraction Examples (বিয়োগের উদাহরণ)

Decimal (Base-10)

Breakdown:
• 2 < 4 → (2+10) - 4 = 8
• Return 1 → 8 + 1 = 9
• 3 < 9 → (3+10) - 9 = 4
• Return 1 → 1 + 1 = 2
• 5 - 2 = 3

  5 3 2
- 1 8 4
-------
  3 4 8

Octal (Base-8)

Breakdown:
• 2 < 4 → (2+8) - 4 = 6
• Return 1 → 6 + 1 = 7
• 3 < 7 → (3+8) - 7 = 4
• Return 1 → 1 + 1 = 2
• 5 - 2 = 3

  5 3 2
- 1 6 4
-------
  3 4 6

Hexadecimal (Base-16)

Breakdown:
• 2 < 4 → (2+16) - 4 = 14(E)
• Return 1 → C(12) + 1 = 13
• A(10) < 13 → (10+16) - 13 = 13(D)
• Return 1 → 1 + 1 = 2
• 5 - 2 = 3

  5 A 2
- 1 C 4
-------
  3 D E

Binary (Base-2)

Breakdown:
• 1 - 0 = 1
• 0 < 1 → (0+2) - 1 = 1
• Return 1 → 1 + 1 = 2(10)
• 1 < 2 → (1+2) - 2 = 1
• Return 1 → 1 - 1 = 0

  1 1 0 1
- 0 1 1 0
---------
  0 1 1 1

3. Number Conversion (সংখ্যা রূপান্তর)

💡 Rule 1: From Decimal to Any Base

Technique: Divide the integer and multiply the fraction by the targeted base number.

কৌশল: পূর্ণাংশকে টার্গেট বেস দিয়ে ভাগ এবং ভগ্নাংশকে টার্গেট বেস দিয়ে গুণ করতে হয়।

1. (1650.35)₁₀ into Octal-

8	1650
8	206	– 2
8	25	– 6
8	3	– 1
	0	– 3

LSD

MSD

LSD

	.35
	× 8
2	.80
	× 8
6	.40
	× 8
3	.20
	× 8
1	.60

= (3162.2631...)₈

2. (428.34)₁₀ into Hexadecimal-

16	428
16	26	– 12(C)
16	1	– 10(A)
	0	– 1

LSD

MSD

LSD

	.34
	× 16
5	.44
	× 16
7	.04
	× 16
0	.64
	× 16
10(A)	.24

= (1AC.570A...)₁₆

3. (25.125)₁₀ into Binary-

2	25
2	12	– 1
2	6	– 0
2	3	– 0
2	1	– 1
	0	– 1

LSD

MSD

LSD

	.125
	× 2
0	.250
	× 2
0	.500
	× 2
1	.000

= (11001.001)₂

💡 Rule 2: From Any Base to Decimal

Technique: Multiply each digit by its place value and sum them up.

কৌশল: প্রতিটি অঙ্ককে তার নিজ বেসের স্থানীয় মান দিয়ে গুণ করে যোগ করতে হবে।

(C97.3D)₁₆ to Decimal-

                          C × 162 + 9 × 161 + 7 × 160 + 3 × 16-1 + D × 16-2

                        = 3072 + 144 + 7 + (3/16) + (13/256)

                        = 3223 + 0.1875 + 0.05078

                        = (3223.238)10

(101.101)₂ to Decimal-

                          1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 + 1 × 2-1 + 0 × 2-2 + 1 × 2-3

                        = 4 + 0 + 1 + (1/2) + 0 + (1/8)

                        = 5 + 0.5 + 0.125

                        = (5.625)10

💡 Rule 3: Conversion between Octal, Hexadecimal and Binary

Technique: Group binary bits to form digits, or expand digits into binary bits.

কৌশল: বাইনারি বিটগুলোকে গ্রুপ করে অঙ্কে, অথবা অঙ্কগুলোকে বাইনারি বিটে রূপান্তর করতে হয়।

1 Octal digit = 3 Binary bits

1 Hexadecimal digit = 4 Binary bits

Octal to Binary

(74)₈ → (?)₂

7	4
↓	↓
111	100

= (111100)₂

Binary to Octal

(101101)₂ → (?)₈

101	101
↓	↓
5	5

= (55)₈

Hexadecimal to Binary

(D5)₁₆ → (?)₂

D	5
↓	↓
1101	0101

= (11010101)₂

Binary to Hexadecimal

(1101011)₂ → (?)₁₆

0110	1011
↓	↓
6	B

= (6B)₁₆

Example: (9C.4D)₁₆ to Octal-

9	C	.	4	D
↓	↓		↓	↓
1001	1100	.	0100	1101

010	011	100	.	010	011	010
↓	↓	↓		↓	↓	↓
2	3	4	.	2	3	2

= (234.232)₈

8	4	1
1	0	1	= 9
1	1	0	= C
0	1	0	= 4
1	1	1	= D

4	2	1
0	1	0	= 2
0	1	1	= 3
1	0	0	= 4

Conversion Exercise:

1. (1853)₁₀ → (?)₁₆

16	1853
16	115	– 13(D)
16	7	– 3
	0	– 7

LSD

MSD

= (73D)₁₆

2. (572)₈ → (?)₁₀

                                  5 × 82 + 7 × 81 + 2 × 80

                                = (5 × 64) + (7 × 8) + (2 × 1)

                                = 320 + 56 + 2

                                = (378)10

3. (A6.B)₁₆ → (?)₈

A	6	.	B
↓	↓		↓
1010	0110	.	1011

010	100	110	.	101	100
↓	↓	↓		↓	↓
2	4	6	.	5	4

= (246.54)₈

4. (53.2)₈ → (?)₂

5	3	.	2
↓	↓		↓
101	011	.	010

= (101011.010)₂

4. 2's Complement & Registers (২-এর পরিপূরক)

Register Size & Sign Bit

Inside a CPU, data is stored in registers (8-bit, 16-bit, 32-bit). In signed numbers, the Most Significant Bit (MSB) is the Sign Bit.

MSB = 0 → Positive Number (+)
MSB = 1 → Negative Number (-)

In an 8-bit register, 1 bit is for the sign, and 7 bits represent the Data Magnitude.

রেজিস্টার ও সাইন বিট

CPU-এর ভেতরে ডেটা রেজিস্টারে জমা থাকে। চিহ্নযুক্ত (Signed) সংখ্যার ক্ষেত্রে সবচেয়ে বামের বিটটিকে Sign Bit (চিহ্ন বিট) বলে।

সাইন বিট 0 হলে → সংখ্যাটি ধনাত্মক (+)
সাইন বিট 1 হলে → সংখ্যাটি ঋণাত্মক (-)

৮-বিট রেজিস্টারে ১টি বিট চিহ্নের জন্য এবং বাকি ৭টি বিট ডেটার মান প্রকাশ করে।

Register Capacity / Range (রেজিস্টারের ধারণক্ষমতা)

Register Type	Formula	Range (রেঞ্জ)
8-bit Unsigned (চিহ্নবিহীন)	0 to (2⁸ - 1)	0 to 255
8-bit Signed (2's Comp) (চিহ্নযুক্ত)	-2⁷ to +(2⁷ - 1)	-128 to +127
16-bit Unsigned	0 to (2¹⁶ - 1)	0 to 65535
16-bit Signed (2's Comp)	-2¹⁵ to +(2¹⁵ - 1)	-32768 to +32767

Importance of 2's Complement (২-এর পরিপূরকের গুরুত্ব)

Addition and subtraction can be done with the same adder circuit.
Reduces hardware cost and complexity.
No ambiguity for zero (+0 and -0 are exactly the same).
Easier implementation of logic circuits.
Arithmetic operations are processed much faster.

যোগ ও বিয়োগের কাজ একই সার্কিট (Adder) দিয়ে করা যায়।
হার্ডওয়্যারের খরচ ও সার্কিটের জটিলতা কমে।
শূন্যের (+০ এবং -০) জন্য কোনো ভিন্ন রূপ বা বিভ্রান্তি থাকে না।
লজিক সার্কিট তৈরি ও বাস্তবায়ন অনেক সহজ হয়।
গাণিতিক কাজ খুব দ্রুত সম্পন্ন হয়।

Subtraction Using Addition (২-এর পরিপূরকের সাহায্যে বিয়োগ)

💡 Rule / নিয়ম

To do A - B, we actually do A + (2's complement of B).

A - B করতে হলে, মূলত A + (B এর ২-এর পরিপূরক) করতে হয়।

📝 Question Type / প্রশ্নের ধরন:

Ques: Find the difference by using 2's complement method.
/ Find the difference by the process of addition.
/ Is it possible to find the difference between A and B the way computer does?

প্রশ্ন: ২ এর পরিপূরক পদ্ধতিতে পার্থক্য নির্ণয় কর।
/ যোগের সাহায্যে পার্থক্য নির্ণয় কর।
/ কম্পিউটার যেই পদ্ধতিতে পার্থক্য নির্ণয় করে তার সাহায্যে A ও B এর পার্থক্য নির্ণয় সম্ভব?

Step 1: Given values & Binary form

Given/দেয়া আছে, A = (60)₁₀ and B = (50)₁₆

(60)₁₀ in 8 bit binary form / ৮ বিটে (60)₁₀ এর বাইনারি মান-
(60)₁₀ = (00111100)₂

(50)₁₆ in 8 bit binary form / ৮ বিটে (50)₁₆ এর বাইনারি মান-
(50)₁₆ = (01010000)₂

Step 2: Compare & Formulate Equation

Here / এখানে, (50)₁₆ > (60)₁₀

To find the difference by addition process- / যোগের সাহায্যে পার্থক্য নির্ণয়ের জন্য-
(50)₁₆ - (60)₁₀
(50)₁₆ + (-60)₁₀

Step 3: 2's Complement of Negative Number

Here, Binary value of (-60)₁₀ can be obtained using 2's complement- / ২ এর পরিপূরকের সাহায্যে (-60)₁₀ এর বাইনারি মান নির্ণয়-

(+60)₁₀ =	0	0	1	1	1	1	0	0
1's complement	1	1	0	0	0	0	1	1
+ 1								1
(-60)₁₀ =	1	1	0	0	0	1	0	0

Step 4: Final Addition & Result

Now / এখন,

(+50)₁₆ =		0	1	1	0
+ (-60)₁₀ =		1	1	0	1
Sum =	1	0	0	1	1

Here, carry bit is not to be considered. / এখানে ক্যারি বিট গ্রহণযোগ্য নয়।

Therefore, the result is (00010100)₂ or (20)₁₀ / অতএব, ফলাফল হল (00010100)₂ বা (20)₁₀

5. Code (কোড)

Definition

Code is a system of representing data (numbers, letters, symbols) using a specific sequence of binary bits (0s and 1s) so a computer can process it.

কোডের সংজ্ঞা

অক্ষর, অঙ্ক ও বিভিন্ন চিহ্নকে মেশিনের বোধগম্য করার জন্য বাইনারি বিট (0 ও 1) দিয়ে যে অদ্বিতীয় সংকেত তৈরি করা হয়, তাকে কোড (Code) বলে।

1. BCD (Binary Coded Decimal)

BCD strictly represents each decimal digit (0-9) with a 4-bit binary sequence. The most standard format is BCD 8421.

১. বিসিডি কোড (BCD)

ডেসিমেল সংখ্যার প্রতিটি অঙ্ককে (০-৯) সমতুল্য ৪-বিট বাইনারি দ্বারা প্রকাশ করাকে BCD কোড বলে। এটি কোনো সংখ্যা পদ্ধতি নয়।

Decimal	BCD (8421)	Decimal	BCD (8421)
0	0000	5	0101
1	0001	6	0110
2	0010	7	0111
3	0011	8	1000
4	0100	9	1001

2. EBCDIC
(Extended Binary Coded Decimal Interchange Code)

It is an 8-bit code (capable of 2⁸ = 256 characters), mostly used in IBM mainframe computers.

২. ইবিসিডিআইসি কোড
(Extended Binary Coded Decimal Interchange Code)

এটি একটি ৮-বিট কোড (মোট ২৫৬টি চিহ্ন প্রকাশ করতে পারে), যা মূলত IBM মেইনফ্রেম বা বড় কম্পিউটারে ব্যবহৃত হয়।

3. Alphanumeric Codes

Codes designed to represent alphabets (A-Z), numbers (0-9), and special characters (@, #, $).

ASCII
(American Standard Code for Information Interchange)

ASCII-7: 7 bits (2⁷ = 128 characters).
ASCII-8: 8 bits (2⁸ = 256 characters).

'A' = Dec 65 = Bin 1000001
'a' = Dec 97 = Bin 1100001

Unicode
(Universal Character Set / Universal Code)

Supports all world languages.

Standardized as 16-bit (65,536 chars).
UTF-8: Variable (1 to 4 bytes).

'অ' = Dec 2437 = Bin 100110000101
'ক' = Dec 2453 = Bin 100110010101

৩. আলফানিউমেরিক কোড

অক্ষর (A-Z), সংখ্যা (0-9) এবং গাণিতিক চিহ্নের সমন্বয়ে তৈরি কোড।

অ্যাসকি
(American Standard Code for Information Interchange)

ASCII-7: ৭ বিট (মোট ১২৮টি চিহ্ন)।
ASCII-8: ৮ বিট (মোট ২৫৬টি চিহ্ন)।

'A' = ডেসিমেল 65 = বাইনারি 1000001
'a' = ডেসিমেল 97 = বাইনারি 1100001

ইউনিকোড
(Universal Character Set / Universal Code)

বিশ্বের সকল ভাষাকে কোডভুক্ত করার মাধ্যম।

প্রাথমিকভাবে ১৬-বিট (মোট ৬৫,৫৩৬টি চিহ্ন)।
UTF-8: ১ থেকে ৪ বাইট মেমরি নেয়।

'অ' = ডেসিমেল 2437 = বাইনারি 100110000101
'ক' = ডেসিমেল 2453 = বাইনারি 100110010101

ASCII vs Unicode (অ্যাসকি বনাম ইউনিকোড)

Feature (বৈশিষ্ট্য)	ASCII (অ্যাসকি)	Unicode (ইউনিকোড)
Bit Size (বিটের সংখ্যা)	Usually 7 or 8 bits. (সাধারণত ৭ বা ৮ বিটের হয়।)	16 bits to 32 bits. (১৬ থেকে ৩২ বিটের হয়।)
Capacity (ধারণক্ষমতা)	Can represent 128 or 256 characters. (১২৮ বা ২৫৬টি চিহ্ন প্রকাশ করতে পারে।)	Can represent 65,536+ characters. (৬৫,৫৩৬ বা তার অধিক চিহ্ন প্রকাশ করতে পারে।)
Language (ভাষা সমর্থন)	Supports only English. (শুধুমাত্র ইংরেজি ভাষা সমর্থন করে।)	Supports all languages of the world. (বিশ্বের সকল ভাষা সমর্থন করে।)
Memory (মেমরি ব্যবহার)	Requires 1 byte per character. (প্রতি অক্ষরের জন্য ১ বাইট জায়গা নেয়।)	Requires 2 to 4 bytes per character. (২ থেকে ৪ বাইট জায়গা নেয়।)
Usage (ব্যবহার)	Older systems and basic text files. (পুরোনো সিস্টেম ও বেসিক টেক্সটে ব্যবহৃত।)	Modern OS, Websites, and global software. (আধুনিক ওএস এবং ওয়েবসাইটে ব্যবহৃত।)